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搞懂多变量高斯分布的由来 高斯分布

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高斯分布（搞懂多变量高斯分布的由来）
多变量高斯分布(multivariate Gaussian distribution)的形式如下：
其中，是D维 mean vector，是 协方差矩阵，里面的第 i 行第 j 列元素表示第 i 个变量第 j 个变量的协方差，代表协方差矩阵的行列式 。
二维高斯分布的图如下所示（来自wikipedia），它的每一个维度都是高斯分布：
本文主要就是讲式(1)的由来 。前置知识：雅可比矩阵和雅可比行列式设 是一个函数，它的输入是向量，输出是向量 :
那么 雅可比矩阵 是一个mn矩阵：
由于矩阵描述了向量空间中的运动——变换，而雅可比矩阵看作是将点 转化到点，或者说是从一个n维的欧式空间转换到m维的欧氏空间 。
如果m = n，可以定义雅可比矩阵 的行列式，也就是 雅可比行列式（Jacobian determinant）。
在微积分换元中，也就是给出了 从x到y的n维体积的比率,二维雅可比矩阵的几何意义在二维情况（有直观的图），雅可比行列式代表xy平面上的面积微元与uv平面上的面积微元的比值 。设
雅可比行列式是：

搞懂多变量高斯分布的由来 高斯分布

文章插图

如图所示：dA代表dx和dy张成的平行四边形的面积，如果du和dv充分接近于0，那么dA：
二重积分换元：
n维度情况以此类推 。
多变量高斯分布首先考虑 单变量标准正态分布，概率密度函数为：
然后考虑 n 维独立标准高斯分布，就是 n 个 独立的 一维标准正态分布随机变量的联合分布：
为了表达方便，用向量的形式来表示，设，式（3）写作：
一般的，设 由 的线性变换得到：
其中A是 的 非奇异矩阵，是n维向量
可把 用 表示：
注意到，式（6）线性变换的雅可比行列式 是，因此：
设，则，由联合概率分布密度的定义，有：
因此，向量 的联合概率概率密度函数是：
也就得到式（1）
可以看出：多变量高斯分布是单变量高斯分布向多维的推广
【搞懂多变量高斯分布的由来 高斯分布】

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