“巧构”二面角
【高考地位】
立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。其求解的策略主要有三种方法：其一是定义法，即按照二面角的定义进行求解；其一是射影法，即找其中一个平面的垂线；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.
【方法点评】
方法一 定义法
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定义法求空间中的面面角 使用情景：空间中面面角的求法
解题步骤：
第一步 首先分别在两个平面中找出与交线垂直的直线；
第二步 然后运用平移或解三角形的知识求其夹角；
第三步 得出结论.
【例】. 在边长为的正三角形中，于，沿折成二面角后，，这时二面角的大小为___．
【解析】
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根据已知条件知为正三角形边中点，且，；
所以为二面角的平面角，连接
由得为正三角形；
所以
故二面角的大小为.
【总结】
本题考查二面角平面角的概念及求法，属中档题.弄清图形折叠前后的变化，认识到等边三角形的高线也是中线是解题的关键，根据已知条件能够说明为二面角的平面角，连接，从而容易说明为正三角形，从而得出二面角的大小为.
方法二 射影法
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射影法求空间中的面面角 使用情景：空间中面面角的求法
解题步骤：
第一步 首先求出其中一个平面的垂线；
第二步 然后过垂足作交线的垂线即可得到二面角的平面角；
第三步 运用解三角形等相关知识即可求出其大小.
【例】. 如图所示，在直三棱柱中，平面侧面，且．
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（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的大小．
【解析】
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（1）证明：如图，取的中点，连接．
因，则，
由平面侧面，
且平面侧面，
得平面，又平面，
所以
【“巧构”二面角】因为三棱柱是直三棱柱，
则底面，所以．
又，从而侧面，
又侧面，故．
(2)连接，由(1)可知平面，则是在平面内的射影，
所以即为直线与平面所成的角，
因为直线与平面所成角的正弦值为，则，
在等腰直角中，，且点是中点，
且，，
，过点作于点，连接，
由(1)知平面，则，且
即为二面角的一个平面角．
且中，，
又，
，且二面角为锐二面角，
，即二面角的大小为．
方法三 空间向量法
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向量法求空间中的面面角 使用情景：空间中面面角的求法
解题步骤：
第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；
第二步 然后求出两个平面的法向量；
第三步 再利用即可得出结论.
【例1】 如图，在四棱锥中，底面，，为等边三角形，，，为的中点．
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41-4.png （1）求；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．
【解析】
（1）连接, 因为底面，平面，所以，
又因为，，
所以底面，
因为平面，
所以，
因为为等边三角形，
所以．
又已知，，
可得．
（Ⅱ）分别以，所在直线为，轴，过且平行的直线为轴建立空间直角坐标系．
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则，，，．
由题意可知平面的法向量为．
设平面的法向量为，
则，得则．
．
所以平面与平面所成二面角的正弦值．
【总结】本题主要考查了线面垂直的判定定理与性质定理、空间向量求立体几何问题、推理论证能力、空间想象能力和推理论证能力，考查学生综合应用知识的能力和应变能力，属综合题.其解题过程中最容易出现以下错误：
其一是不能准确找出线线关系，尤其是线线垂直、线面垂直的关系，进而不能正确地求出所得的结果；
其二是对于第二问不能正确地运用空间向量求立体几何问题，进而导致失误.
【例2】、如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面平面，且，，，且. 求二面角的余弦值.
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【解析】
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系，
平面
平面的法向量，另外，，，
，
设平面的法向量，则，令，得
，
又为锐二面角,所以二面角的余弦值为.
【总结】：本题考查平面与平面垂直的证明，属中档题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．
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